脚本宝典收集整理的这篇文章主要介绍了数论概论学习笔记(一)——勾股数,脚本宝典觉得挺不错的,现在分享给大家,也给大家做个参考。
版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。
Pythagoras theorem(勾股定理)
一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。 如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达:
a2+@H_126_46@b2=c2
满足这个等式且没有公因数的的三元数组(a,b,c)称为勾股数。
可证a、b两个数必然一奇一偶,证明如下:
如果数a,b都是奇数,则数c必为偶数。可设a=2x+1,b=2y+1,c=2z,有
(2x+1)2+(2y+1)2=(2z)2
展开化简得到下式:
2x2+2x+2y2+2y+1=2z2 @H_536_360@2x^2+2x+2y^2+2y+1=2z^2
上式左边为奇数,右边为偶数,等式显然不成立;
如果数a,b都是偶数,意味着c也是偶数。此时a,b,c都可以被2整除,此时a,b,c不互质。
证毕。
定理
由$a^2+b^2=c^2$可得$a^2=(c-b)(c+b)$
假设存在一个数d是(c-b),(c+b)的公因数,即d可以整除(c-b)和(c+b),则d也可以整除
(c+b)+(c-b)= 2c与(c+b)-(c-b)= 2b
故d整除2b和2c.而b、c没有公因数,因为我们假设(a,b,c)为本原勾股数组,可以得出d一定是1或2。但d也整除$(c+b)(c-b)=a^2$ 且a为奇数,所以d只能为1,所以(c-b),(c+b)没有公因数。
现在我们知道c-b与c+b没有公因数且$a^2=(c-b)(c+b)$ ,所以c-b,c+b的积是平方数,当且仅当c-b和c+b本身都是平方数。记$c+b=s^2$ , $c-b=t^2$
其中$s> t geq 1$ 为没有公因数的奇数。关于b和c解方程组得
@H_57_406@c=s2+t22,b=s2−t22
于是 $a=sqrt{(c+b)(c-b)}=st$
所以有以下定理
Pythagorean Triples  Theorem:
We will get every PRimITive Pythagorean triple(a,b,c) with a odd and b even by using the formulas:
$a=st$ , $ b=frac{s^2-t^2}{2} $ ,$c=frac{s^2+t^2}{2}$($s> tgeq 1$)
通过这个公式,取不同s,t的值便可生成不同的勾股数。
下表为 $s leq 9$ 的所有勾股数
s
t
$a=st$
$b=frac{s^2-t^2}{2}$
$c=frac{s^2+t^2}{2}$
3
1
3
4
5
5
1
5
12
13
7
1
7
24
25
9
1
9
40
41
5
3
15
8
17
7
3
21
20
29
7
5
35
12
37
9
5
45
28
53
9
7
63
16
65
以上是脚本宝典为你收集整理的数论概论学习笔记(一)——勾股数全部内容,希望文章能够帮你解决数论概论学习笔记(一)——勾股数所遇到的问题。
本图文内容来源于网友网络收集整理提供,作为学习参考使用,版权属于原作者。
如您有任何意见或建议可联系处理。小编QQ:384754419,请注明来意。