脚本宝典收集整理的这篇文章主要介绍了斐波那契数列详解，脚本宝典觉得挺不错的，现在分享给大家，也给大家做个参考。

Fibnacci

1.基本的递推性质：

1. (f_n=f_{n-1}+f_{n-2})
2. (suMLimITs_{i=1}^{n}f_i=f_{n+2}-1)
3. (sumlimits_{i=1}^{n}f^2_i=f_ntimes f_{n+1})
4. (f_1+f_3+f_5+...+f_{2n-1}=f_{2n})
5. (f_2+f_4+f_6+...+f_{2n}=f_{2n+1}-1)
6. (f_n=f_mtimes f_{n-m+1}+f_{m-1}times f_{n-m}(ngeq m))
7. (f_{n-1}times f_{n+1}=f_n^2+(-1)^n)
8. (frac{f_{2n}}{f_n}=f_{n-1}+f_{n+1})
9. 一般用不到：(f_{2n-2m-2}(f_{2n}+f_{2n+2})=f_{2m+2}+f_{4n-2m}(n>;mgeq-1,ngeq-1))

证明：

1. 显然

2. (f_1=f_3-f_1)

   (f_2=f_4-f_3)

   (f_3=f_5-f_4...)

   (f_n=f_{n+2}-f_{n+1})

   上式相加消去相同元素，得证

3. 可使用上面2的证明方式得出，不再给出证明

4. 同2

5. 同2

6. (f_n=f_{n-1}+f_{n-2})

   (f_n=2f_{n-2}+f_{n-3})

   (f_n=3f_{n-3}+2f_{n-4})

   (f_n=5f_{n-4}+3f_{n-5}...)

   不难发现系数仍然是斐波那契数列，那么整理可得证

7. （不会）

2.与集合的关系

第(f_{n+2})项是集合(textit{1,2,...,n})中所有不包含相邻正整数子集的个数

3.与杨辉三角（组合数学）的关系

4.通项公式

(f_n=frac{1}{sqrt{5}}[(frac{1+sqrt{5}}{2})^n-(frac{1-sqrt{5}}{2})^n])

看到里面的一个数跟黄金分割非常像，他确实也跟黄金分割有很大关系，不过过一会再提，先看证明

假设有(a,b)使

(f_n-af_{n-1}=b(f_{n-1}-af_{n-2})\ f_n=(a+b)f_{n-1}-abf_{n-1})

有 (left{begin{matrix} a+b=1 \ ab=1 end{matrix}right.)

解得 (left{begin{matrix} a=frac{1+sqrt{5}}{2}\ b=frac{1-sqrt{5}}{2} end{matrix}right. or left{begin{matrix} a=frac{1-sqrt{5}}{2}\ b=frac{1+sqrt{5}}{2} end{matrix}right.)

(f_n-af_{n-1}=b(f_{n-1}-af_{n-2}))

(frac{f_n-af_{n-1}}{f_{n-1}-af_{n-2}}=b)

令(S_{n}=f_n-af_{n-1}),则

(left{begin{matrix} frac{S_n}{S_{n-1}}=b\ S_1=f_1-af_0=1 end{matrix}right.)

进而可得(S_n=b^{n-1}Rightarrow f_n-af_{n-1}=b^{n-1})

那么(f_n=b^{n-1}+af_{n-1})，把求得的(a,b)代入得

(left{begin{matrix} f_n=(frac{1-sqrt{5}}{2})^{n-1}+frac{1+sqrt{5}}{2}f_{n-1}\ f_n=(frac{1+sqrt{5}}{2})^{n-1}+frac{1-sqrt{5}}{2}f_{n-1} end{matrix}right.)

((frac{1+sqrt{5}}{2})^{n-1}+frac{1-sqrt{5}}{2}f_{n-1}=(frac{1-sqrt{5}}{2})^{n-1}+frac{1+sqrt{5}}{2}f_{n-1})

(left [(frac{1+sqrt{5}}{2})^{n-1}-(frac{1-sqrt{5}}{2})^{n-1} right ]=sqrt{5}f_{n-1})

(f_{n-1}=left [(frac{1+sqrt{5}}{2})^{n-1}-(frac{1-sqrt{5}}{2})^{n-1} right ]frac{1}{sqrt{5}})

(f_{n}=left [(frac{1+sqrt{5}}{2})^{n}-(frac{1-sqrt{5}}{2})^{n} right ]frac{1}{sqrt{5}})

(square)

5.黄金分割的关系

关于相邻两项的比值，在(n)趋于无限时等于黄金分割比，即

(limlimits_{nto infty}frac{f_n}{f_{n+1}}=frac{sqrt{5}-1}{2})

6.数论相关

(gcd(f_n,f_m)=f_{gcd(n,m)})

证明的话使用上面的递推性质(5)即可证明

然后由这个可以推出来一个只有斐波那契第(2)项不符合的公式，

(n|mLeftrightarrow f_n|f_m)

7.不太重要的公式

当时在做斐波这道题的时候考场上自己推出来了一个式子，应该是对的，但是翻遍了博客没有看到一样的

不知道能不能用前(n)项平方和公式证明，在这里给一下吧

(f_n^2+f_{n+1}^2=f_{2n+1})，

好的证明已经给出来了，直接用递推性质(5)然后疯狂化简右式即可得到与左式相同的形式，%%%zero4338

参考资料

度娘

大佬博客

战神草稿纸

脚本宝典总结

以上是脚本宝典为你收集整理的斐波那契数列详解全部内容，希望文章能够帮你解决斐波那契数列详解所遇到的问题。

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