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第二章 连续函数

(2.1) 连续函数的概念

@H_126_6@(/xi 2.1.1) 函数在一点连续的概念

定义 (1)

设函数 (f(x)) 在 (x_0) 的某邻域内有定义，如果 (liMLimITs_{xto x_0}f(x)=f(x_0)) 成立，那么就称函数 (f(x)) 在 (x_0) 处连续，(x_0) 称为函数 (f(x)) 的连续点.

一般的，(Delta x=x-x_0) 称为自变量的改变量，(Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)=f(x_0+Delta x)-f(x_0)) 称为函数 (f(x)) 在 (x_0) 处的改变量.

函数 (f(x)) 在 (x_0) 处连续指的是 (limlimits_{Delta xto 0}Delta f(x_0)=0). 即对任意的正数 (VARepsilon) ，都存在正数 (delta) ，使得当 (|Delta x|<delta) 时，就有 (|Delta f(x_0)|<varepsilon) 成立.

例 (2.1.1.1) 若函数 (f(x)=begin{cases} DFrac{x^2-1}{x+1}&amp;xneq -1\a&x=-1end{cases}) 在 (x=-1) 处连续，求 (a) 的值.

解：因为 (f(x)) 在 (x=-1) 处连续，所以 (limlimits_{xto -1}f(x)=f(-1)) ，(limlimits_{xto -1}f(x)=limlimits_{xto -1}dfrac{x^2-1}{x+1}=limlimits_{xto -1}(x-1)=-2) ，(f(-1)=a)

所以 (a=-2).

例 (2.1.1.2) 证明函数 (f(x)=e^x) 在任意点 (x_0) 处连续.

证：对任意实数 (x_0) 和 (x) ，(e^x-e^{x_0}=e^{x_0}(e^{x-x_0}-1)). 对任意正数 (varepsilon) ，不妨设 (varepsilon<e^{x_0}) ，要使 (|e^x-e^{x_0}|<varepsilon) ，即要使 (|e^{x_0}(e^{x-x_0}-1)|<varepsilon) ，即 (1-varepsilon e^{-x_0}<e^{x-x_0}<1+varepsilon e^{-x_0}) ，即 (ln(1-varepsilon e^{-x_0})<x-x_0<ln(1+varepsilon e^{-x_0})).

取 (delta=min{-ln(1-varepsilon e^{-x_0}),ln(1+varepsilon e^{-x_0})}) ，则当 (|x-x_0|<delta) 时，有 (|e^x-e^{x_0}|<varepsilon).

所以函数 (f(x)=e^x) 在点 (x_0) 处连续.

由于 (x_0) 是任意给定的，所以函数 (f(x)=e^x) 在任意点 (x_0) 处连续.

脚本宝典总结

以上是脚本宝典为你收集整理的学习笔记（2）全部内容，希望文章能够帮你解决学习笔记（2）所遇到的问题。

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