脚本宝典收集整理的这篇文章主要介绍了2021秋 数分B1例题，脚本宝典觉得挺不错的，现在分享给大家，也给大家做个参考。

求极限 (liMLimITs_{n to infty} sqrt[n]{a} (a > 0))

① 当 (a = 1) 时，显然 (limlimits_{n to infty}sqrt[n]{a} = 1)

② 当 (a > 1) 时，设 (lambda_n = sqrt[n]{a} - 1 > 0Rightarrow a = (1 + lambda_n)^n)

由 (text{Bernoulii}) 不等式：(a = (1 + lambda_n)^n geqslant 1 + nlambda_n Rightarrow lambda_n leqslant frac{a - 1}{n})

(0 < lambda_n leqslant frac{a - 1}{n})，根据夹逼定理可得，(lambda_n to 0 Rightarrow sqrt[n]{a} to 1)

即 (limlimits_{n to infty} sqrt[n]{a} = 1)

求极限 (limlimits_{n to infty} sqrt[n]{n})

根据均值不等式：

(begin{aligned}sqrt[n]{n} &amp; = sqrt[n]{begin{matrix}sqrt n times sqrt n times & underbrace{1 times cdots times 1}\ & n-2个1end{matrix}} \ & < frac{2sqrt n + n - 2}{n} \ & = frac{2}{sqrt n} - frac{2}{n} + 1 to 1end{aligned})

又有 (sqrt[n]{n} > 1)，根据夹逼定理，(limlimits_{n to infty} sqrt[n]{n} = 1)

证明：数列 ({a_n}) 发散 ((a_n = sin n))

考虑反证，假设 (sin n) 收敛于 (a)

因为 (sin(n + 1) - sin(n - 1) = 2sin1cos n)，根据假设，两边同时取极限得到 (cos n to 0(n to infty))

又 (sin n = 2 sin frac{n}{2} cos frac{n}{2})，同样地，两边同时取极限得到 (sin n to 0(n to infty))

上述结果与 (sin^2n + cos^2n = 1) 矛盾，故 (sin n) 发散。证毕。

求 (limlimits_{n to infty}sqrt{2 + sqrt{2 + sqrt{2 + cdots + sqrt 2}}})

设 (a_n) 是 (n) 重根号的结果，则 (a_1 = sqrt{2},a_{n + 1}^2 = a_n + 2)

解法一：

设 (a_n = 2 cos theta_n)，则有 (4cos^2 theta_{n+1}=2cos theta_n + 2)

整理可得：(cos2theta_{n + 1} = costheta_n)

不妨直接令 (theta_{n+1} = frac{1}{2}theta_n)，又有 (theta_1 = frac{pi}{4})

求得 (theta_n = frac{pi}{2^{n + 1}} Rightarrow a_n = 2cos frac{pi}{2^{n+1}})，不难求得 (a_n to 2)

解法二：

(a_1^2 = 2,a_2^2 = 2 + sqrt 2 > a_1^2 Rightarrow a_1 < a_2)

一般的，对于 (n > 1)

(begin{aligned}a_{n + 1} - a_n & = sqrt{a_n + sqrt 2} - sqrt{a_{n - 1} + sqrt 2} \ & =frac{a_n - a_{n - 1}}{sqrt{a_n + sqrt 2} + sqrt{a_{n - 1} + sqrt 2}} end{aligned})

由归纳公理可得 ({a_n} uparrow) 又发现 (a_1 = sqrt 2 < 2,a_{n + 1} = sqrt{a_n + 2} < sqrt{2 + 2} = 2)，归纳可得 ({a_n}) 有上界

所以 ({a_n}) 收敛，设该极限为 (a)，(a_{n + 1}^2 = a_n + 2 Rightarrow a^2 = a + 2)，解得 (a = 2)（负根舍去）

(a_n to 2) 即为所求

脚本宝典总结

以上是脚本宝典为你收集整理的2021秋 数分B1例题全部内容，希望文章能够帮你解决2021秋 数分B1例题所遇到的问题。

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